\nopagenumbers

\input amssym.def

\input amssym.tex

\def\geq{\geqslant}

\def\leq{\leqslant}
\def\Z{\Bbb Z}

\centerline{LXII УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 29.04--05.05.2024}

\centerline{\bf КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 30.04.2024}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ СЕНЬОРОВ}

\medskip

1. Маша выписывает в тетрадку числа: сначала наименьшее нечётное 
число~-- 1, потом два следующих чётных числа~-- 2, 4, потом три 
следующих нечётных числа~-- 5, 7, 9, потом четыре следующих чётных 
числа~-- 10, 12, 14, 16 и т.д. Напишет ли она число 2024? 
(Аргентина, зональный этап, уровень 3, 2023)

2. Дан параллелограмм $ABCD$ с большей стороной $AB$. На луче 
$BD$ отмечены отличные от $B$ точки $X$ и $Y$ так, что $CX=CB$ 
и $AY=AB$. Докажите, что $DX=DY$. 
(Польша, олимпиада для юниоров, 2023, 2 тур) 

3. Дано натуральное число $n$. Алиса и Боб по очереди вписывают 
в клетки клетчатой доски $2n \times 2n$ различные положительные 
числа, начинает Алиса. В каждую клетку можно вписать только одно 
число. После того как таблица заполнена, в каждой строке и в 
каждом столбце закрашивают клетку с наибольшим числом (одна клетка 
может быть закрашена несколько раз). Докажите, что Боб может 
играть так, чтобы в итоге было закрашено не меньше $3n$ клеток.
(С.Лучинин)

4. Дано натуральное число $n > 1$. Натуральное число $m$, $1\leq 
m\leq n-1$, назовем {\it регулярным}, если найдется натуральное 
число $x$, для которого 
$$m^2x\equiv m \pmod{n}.$$
Докажите, что количество регулярных чисел равно числу всевозможных 
правильных несократимых дробей вида $k/d$, где $d$ пробегает 
все делители $n$, удовлетворяющие свойству $(d, n/d)=1$.
(K.Dohmen, On the number of regular elements in ${\Z}_n$, https://arxiv.org/pdf/2304.02471.pdf)

5. Некоторые участники турнира дружат между собой, и у каждого 
есть хотя бы один друг. Каждому участнику турнира выдали футболку, 
на которой написано количество его друзей на турнире. Докажите, 
что хотя бы у одного участника среднее арифметическое чисел на 
футболках его друзей не меньше, чем среднее арифметическое чисел 
на всех футболках.
(Чехия и Словакия, тур 3, категория A, 1991)

6. Точки $O_1$ и $O_2$ -- центры равных равносторонних треугольников 
$ABC$ и $DEF$. Отрезок $AB$ пересекает отрезки $DE$ и $DF$ в 
точках $M$ и $N$ соответственно, а отрезок~$AC$ пересекает отрезки 
$DF$ и $EF$ в точках $P$ и $Q$ соответственно; точка $N$ лежит 
на отрезках $AM$ и $PD$, точка $P$ лежит на отрезках $FN$ и $AQ$. 
Биссектрисы углов $EMN$ и $DPQ$ пересекаются в точке $I$, а биссектрисы 
углов $FNM$ и $EQP$ пересекаются в точке $J$. Докажите, что $IJ\perp O_1O_2$.
(Румыния, отбор на юниорскую Балканиаду, 2023, чуть изменено) 
%https://artofproblemsolving.com/community/c3332260_2023_junior_balkan_team_selection_tests__romania

7. В каждой клетке таблицы $(2n+1)\times 2$ написано вещественное 
число. В каждой из $2n+1$ строк сумма модулей чисел равна~1. 
Барон Мюнхгаузен может выбрать несколько строк и поменять знаки 
у всех чисел, стоящих в этих строках. После этого вычисляются 
суммы $b_1$ и $b_2$ чисел в столбцах. Барон утверждает, что для 
любой таблицы он сможет добиться выполнения неравенства 
${|b_1|+|b_2|\leq 1}$. Не обманывает ли нас барон?
(I.Barany, B.Ginzburg, V.Grinberg, 2013 unit vectors in the plane, 
https://arxiv.org/pdf/1303.2877v2.pdf)

8. Дано натуральное $k<100$ и выпуклый 100-угольник. Петя проводит 
в нём несколько диагоналей, не пересекающихся по внутренним точкам. 
После этого Вася должен покрасить $k$ вершин 100-угольника. При 
этом любой двузвенный путь, каждое ребро в котором -- сторона 
или проведенная Петей диагональ, должен содержать отмеченную 
вершину. При каком наименьшем $k$ Вася всегда сможет это сделать? 
(Bo\v stjan Bre\v sar, Franti\v sek Kardo\v s, J\'an Katreni\v c, 
Gabriel Semani\v sin. Minimum k-path vertex cover, Discrete 
Applied Mathematics 159 (2011), 1189-1195)

\medskip

\centerline{LXII УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 29.04--05.05.2024}

\centerline{\bf КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 30.04.2024}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЮНИОРОВ}

\medskip

1. Петя принёс в кружок на свой день рождения коробку конфет. 
Если он попытается раздать всем поровну конфет, то одной конфеты 
не хватит. Если же Петя попытается раздать всем мальчикам поровну
конфет, а каждой девочке --- на одну конфету больше, чем мальчику, 
то у него останется одна конфета. Докажите, что если бы у Пети было 
бы две таких же коробки конфет, то он смог бы раздать всем мальчикам 
поровну конфет, а каждой девочке --- на одну конфету больше, чем мальчику.

2. По дороге в одном направлении с постоянными скоростями едут 
трактор, грузовик и автобус. Четыре человека, стоящих у дороги, 
назвали порядок, в котором мимо них проезжали эти транспортные 
средства. Паша сказал: ``Грузовик, автобус, трактор'', Вася: ``Трактор, 
грузовик, автобус'', Тимур: ``Автобус, грузовик, трактор''. Что сказал 
Гриша, если названный им порядок отличается от этих трёх?
(П. Пикалов)

3. Назовем натуральное число {\it треугольным}, если оно равно 
сумме первых нескольких натуральных чисел, в частности, число 
1 --- треугольное. Существуют ли 2024 различных треугольных числа, 
произведение которых является точным квадратом?
(И.Ефремов)

4. Треугольник $ABC$, в котором $\angle A=2 \angle C$, и квадрат 
$AXYZ$ расположены на плоскости так, что точка $Z$ лежит на стороне 
$AC$, а точка $B$ --- на диагонали $XZ$. Отрезки~$BC$ и $YZ$ 
пересекаются в точке $T$. Докажите, что $AB=YT$.
(А. Кузнецов)

5. Даны целые числа $x_1, x_2, \ldots, x_{400}$. Рассмотрим суммы 
$$S_1=x_1,\, S_2=x_1+x_2,\, \ldots,\, S_{400}=x_1+x_2+\ldots+x_{400}.$$ 
Оказалось, что такие суммы принимают ровно 5 различных значений. 
При каком наибольшем $k$ можно утверждать, что среди исходных 
чисел найдутся $k$ равных?
(И. Ефремов, А. Кузнецов)

6. При каких натуральных $n$ на доску $n\times n$ можно выставить 
нескольких ладей так, чтобы каждая клетка (включая клетки, на 
которых стоят ладьи) была побита ровно 3 ладьями? Ладья бьет 
клетку, на которой стоит; ладьи не бьют сквозь друг друга.

7. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$, на 
стороне $BC$~--- точка $E$, а на отрезке $BE$~--- точка $F$, 
причем $\angle ADB=\angle BED=60^\circ$, $AC=BD$ и $CD=BF$. Докажите, 
что $AD+CE>AF$.
(А. Кузнецов)

8. Напомним, что {\it палиндромом} называется натуральное число, 
читающееся одинаково слева направо и справа налево. Например, 
$12321$ --- палиндром, а $1210$ --- нет. Существует ли натуральное 
число $N>1$ такое, что все его натуральные степени являются палиндромами?
(И.Ефремов)

\medskip

\centerline{LXII УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 29.04--05.05.2024}

\centerline{\bf КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 30.04.2024}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ ГРУППЫ ``СТАРТ''}

\medskip

1. Петя принёс в кружок на свой день рождения коробку конфет. Если
он попытается раздать всем поровну конфет, то одной конфеты не
хватит. Если же Петя попытается раздать всем мальчикам поровну
конфет, а всем девочкам тоже поровну и на одну конфету больше, 
чем мальчикам, то у него останется одна конфета. Докажите, что 
если бы у Пети было вдвое больше конфет, то он смог бы раздать 
всем мальчикам поровну конфет, а всем девочкам тоже поровну и 
на одну конфету больше, чем мальчикам.

2. У Кирилла есть белая клетчатая доска $2024 \times 2024$. За 
один ход Кирилл выбирает линию (строку или столбец), в которой 
в данный момент все клетки белые, и перекрашивает какие-то $1000$ 
клеток этой линии в черный. Какое наибольшее количество клеток 
Кирилл может в результате сделать черными?
%https://artofproblemsolving.com/community/c6h3239265p29692977
(П.Сривастава, Индонезия, 2024)

3. На окружности выбрано 11 точек. Некоторые пары точек соединены 
отрезками, причём среди любых 6 точек найдутся какие-то две, 
не соединённые отрезком. Верно ли, что эти точки всегда можно 
окрасить в 5 цветов так, чтобы не нашлось отрезка, соединяющего 
точки одинакового цвета?
(По мотивам классики)

4.  Натуральное число $n$ разделили с остатком на все числа от 
1 до 100, дающие остаток 2 при делении на 3 (т.е. на $2$, $5$, 
$8$, \dots , $98$). 
Может ли сумма полученных неполных частных
отличаться от суммы полученных остатков ровно на $1000$? (Напомним, 
что как остаток, так и неполное частное могут быть нулевыми!)
(Швеция, 2023, числа изменены)

5. Аня взяла девятизначное число $n$, и приписала справа от него 
девятизначное число $k\leq n$, получив новое 18-значное число. 
Боря вычислил сумму всех натуральных чисел от 1 до $n$. Оказалось, 
что полученное Аней число ровно в 7 раз больше, чем сумма, вычисленная 
Борей. Найдите все $n$, для которых такое возможно.
(Индонезия, олимпиада Эйлера, 2024)

6. Сначала на доске записывается трехзначное натуральное число $n$. 
Петя и Вася по очереди делают ходы, начинает Петя. Тот, кто делает 
ход, вычитает из числа на доске любой его делитель, отличный 
от единицы и самого числа.Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. 
Сколько существует таких трехзначных $n$, при которых выигрывает Вася?
(Болгария, весеннее математическое состязание, 2024, 8 класс) 

7. При каких натуральных $n$ на доску $n\times n$ можно выставить 
нескольких ладей так, чтобы каждая клетка (включая клетки, на которых 
стоят ладьи) была побита ровно 3 ладьями? Ладья бьет клетку, на которой 
стоит; ладьи не бьют сквозь друг друга.
%\hfill{\it взято у Юниоров}

8. Дано 100 натуральных чисел. Пара различных данных чисел называется 
{\it хорошей}, если найдётся другая пара данных чисел, у которых разность 
ровно в два раза больше (из большего числа всегда вычитается меньшее). 
Какое наибольшее количество хороших пар может быть среди данных чисел?
(Европейская олимпиада для девушек, 2024) 

\end 