\nopagenumbers

\input amssym.def

\input amssym.tex

\def\geq{\geqslant}

\def\leq{\leqslant}

\centerline{LX УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 03-09.05.2023}

\centerline{\bf КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 04.05.2023}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ СЕНЬОРОВ}

\medskip 

1. Выпуклый многоугольник разделен на два многоугольника одной из своих 
диагоналей. У получившихся двух многоугольников суммарно на 290 диагоналей 
меньше, чем у исходного многоугольника. Сколько может быть сторон у исходного 
многоугольника? 
(K\"ozepiskolai Matematikai Lapok, 2022\No 12, K/C.747, модификация)

2. Найдите все тройки целых чисел $(a, b, c)$, удовлетворяющие системе 
уравнений 
$$a^2+a=b+c, \qquad b^2+b=c+a, \qquad c^2+c=a+b. $$
(Румыния, национальный этап, 2023, 6 класс) 

3. На $mn$ мягких квадратных ковриках, уложенных в виде прямоугольника 
$m\times n$, сидят $mn$ воспитанников детского садика. Каждый малыш смотрит 
в направлении одной из сторон прямоугольника. Когда няня хлопает в ладоши, 
каждый ребёнок переползает на соседний коврик в направлении, в котором 
он смотрел, и поворачивается на $90^\circ$ влево или вправо по своему 
младенческому усмотрению. Если малыш выползает с коврика на холодный пол, 
он плачет. Если два малыша оказываются на одном коврике, они плачут. 
При каких $m$ и $n$ эти поползушки могут продолжаться без слёз неограниченно 
долго? 
(Тайвань, 2023) 

4. Дан треугольник $ABC$ с углами $\angle BAC=90^\circ$ 
и $\angle ACB=54^\circ$. На биссектрисе $BD$ выбрана точка $E$ такая, 
что $DE=DC$. Докажите, что $BE=2AD$. 
(Румыния, национальный этап, 2023, 6 класс) 

5. Докажите при всех натуральных $n$ неравенство 
$$2^{2^n(n-2)+n+2}\leqslant (2^n)!\leqslant 2^{2^n(n-1)+1}.$$ 
(K\"ozepiskolai Matematikai Lapok, 2022\No 5, B.5250)

6. Дано простое число $p>2023$ и натуральные числа $a$ и $b$, 
не делящиеся на $p$. Пусть $p_1<p_2<\dots<p_m$ -- все простые числа, 
меньшие $\root{\scriptstyle 4}\of{p\over 2}$. Для каждого числа $p_i$ 
подобрали такое натуральное число $q_i<p$, что $p_iq_i-1$ делится на $p$. 
Докажите, что среди остатков при делении на $p$ чисел $aq_1+b$, $aq_2+b$, 
\dots, $aq_m+b$ встречается не более трёх остатков $q_i$. 
(Польша, 2022/23, 3 тур) 

7.  Диагонали $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$. 
Биссектриса угла $BKC$ пересекает основания $BC$, $AD$ в точках $X$, $Y$. 
Серединный перпендикуляр к $XY$ пересекает боковые стороны $AB$, $CD$ 
в точках $P$, $Q$. Докажите, что $PXQY$ -- ромб.
(М.Дидин)

8. В музее висят более 50 картин, написанные 15 красками. У каждых 
двух картин наборы использованных на них красок отличаются. Докажите, 
что можно найти четыре разных картины $A$, $B$, $C$ и $D$ такие, что 
каждая краска присутствующая и на $A$, и на $B$, есть хотя бы на одной 
из картин $C$ и $D$. 
(Румыния, национальный этап, 2023, 10 класс) 

\medskip 

\centerline{LX УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 03-09.05.2023}

\centerline{\bf КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 04.05.2023}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЮНИОРОВ}

\medskip 

1. В ящике были красные, синие, жёлтые и зелёные шары. Незнайка 
неправильно посчитал, что в ящике 10\% шаров красные, 20\% синие, 
50\% жёлтые и 70\% зелёные. Дело в том, что он считал проценты 
не от общего количества всех шаров, а от общего количества шаров 
каких-то трех цветов (оставшийся, четвертый цвет назовем {\it забытым}). 
А какие бы результаты Незнайка получил, если бы считал проценты 
от количества шаров забытого цвета?
(А.Солынин) 

2. Паша взял два трёхзначных числа, возвел каждое 
в квадрат и записал полученные числа друг за другом без пробела. 
Получилось некоторое десятизначное число. Могут ли не менее семи 
цифр в записи этого десятизначного числа равняться~3?
(Турнир в Серове, 2023, усложнение)

3. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ нашлась такая точка $D$, что $AB=CD$. 
В треугольнике $BCD$ проведена биссектриса $DE$. Докажите, что 
из отрезков $AD$, $BE$ и $EC$ можно сложить треугольник.
(А.Кузнецов) 

4. В кубе $3\times3\times 3$  в каждом единичном кубике находится 
лампочка. Изначально все лампочки выключены. За ход разрешается 
``нажать'' на один из 26 кубиков на границе, и лампочки во всех 
кубиках, имеющих с выбранным общую грань (в том числе и в нём самом) 
переключаются. Можно ли через некоторое количество ходов сделать 
включенной только лампочку в центре исходного куба?
(Испания, 2023)

5. В строчку выписаны все натуральные делители числа $n$ в порядке 
возрастания: $1=d_1<d_2<\ldots<d_k=n.$ Оказалось, что при любом 
натуральном $i$ от $2$ до $k$ включительно либо $d_i$ делится 
на $d_{i-1}$, либо $d_i-1$ делится на $d_{i-1}.$ Докажите, что $n$ 
имеет не более двух  различных простых делителей.

6. Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором, $AB=BC=CD$, 
$\angle B=\angle C=140^\circ$ и $\angle A=\angle D=50^\circ$. 
Найдите градусную меру углов треугольника $ACE$.
(А.Кузнецов) 

7. В комнате находятся 99 человек. Каждую минуту из комнаты 
выходит человек, у которого количество знакомых среди присутствующих 
хотя бы на 2 больше, чем у каждого из остальных. Через несколько минут 
такого человека не нашлось. Какое минимальное количество людей могло 
остаться к этому моменту в комнате? (Знакомства взаимные.)
(Украина, 2023, по мотивам) 

8. Саша выписал на доску 2023 правильные дроби. Оказалось, что для любого 
натурального числа $n$ от 1 до $k$ можно выбрать несколько из выписанных 
дробей с суммой~$n$. При каком наибольшем $k$ такое возможно?
(Н.Сафаеи, Иран, отбор на ММО, 2023)

\medskip 

\centerline{LX УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 03-09.05.2023}

\centerline{\bf КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 04.05.2023}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ ГРУППЫ "СТАРТ"}

\medskip

1. В ящике были красные, синие, жёлтые и зелёные шарики. Незнайка 
неправильно посчитал, что в ящике 10\% шаров красные, 20\% синие, 
50\% жёлтые и 70\% зелёные. Дело в том, что он считал проценты 
не от общего количества всех шаров, а от общего количества шаров 
каких-то трех цветов (оставшийся, четвертый цвет назовем {\it забытым}). 
А какие бы результаты Незнайка получил, если бы считал проценты 
от количества шаров забытого цвета?
(А.Солынин) 

2. Фишка двигается по клеткам доски $100 \times 100$, начиная 
с левой нижней угловой клетки и каждым ходом перемещаясь в соседнюю 
по стороне клетку. Будем говорить, что {\it произошел поворот}, 
если из двух последовательных ходов фишки один вертикальный, 
а другой горизонтальный (в любом порядке). Фишка посетила хотя бы 
по одному разу каждую клетку диагонали, ведущей из левого нижнего 
угла доски в правый верхний (исходная клетка считается уже посещенной). 
Какое наименьшее количество поворотов могло при этом произойти?
(Польша, 2022/23, 2 тур) 

3. Каждое из десяти положительных чисел равно квадрату суммы оставшихся 
девяти. Обязательно ли все эти десять чисел равны?
(Украина, 2023) 

4. Выпуклый многоугольник разделен на два многоугольника одной из своих 
диагоналей. У получившихся двух многоугольников суммарно на 290 диагоналей 
меньше, чем у исходного многоугольника. Сколько может быть сторон 
у исходного многоугольника?
(K\"ozepiskolai Matematikai Lapok, 2022\No 12, K/C.747, модификация)

5. В кубе $3\times3\times 3$  в каждом из $27$ единичных кубиков находится 
лампочка. Изначально все лампочки выключены. За ход разрешается нажать 
на один из $26$ кубиков на границе, и лампочки во всех кубиках, имеющих 
с выбранным общую грань (в том числе и в нём самом), переключаются. 
Можно ли через некоторое количество ходов добиться того, чтобы все лампочки 
оказались включены?
(Испания, 2023)

6. При каком наименьшем натуральном $n$ число из $n$ единиц будет делиться 
на число из ста семёрок?
(по фольклорным мотивам) 

7. В компании из 100 человек некоторые знакомы друг с другом. 
Каждую минуту из компании уходит человек, который имеет знакомых 
{\bf больше}, чем любой из оставшихся. Через несколько минут такого 
человека не нашлось.  Какое наименьшее количество людей могло остаться 
к этому моменту в компании?
(Украина, 2023) 

8. За большим круглым столом стоят 1000000 пронумерованных от 1 
до 1000000 по часовой стрелке стульев. Султан рассадил на них 1000000 
мудрецов. Каждый мудрец знает номер своего стула и видит только 1000 
следующих за ним по часовой стрелке мудрецов. Каждому мудрецу надели 
колпак черного или белого цвета, и они должны одновременно записать 
каждый на своей бумажке либо слово ``Белый'', либо слово ``Черный''. 
Мудрецы имели возможность договориться перед испытанием. Могут ли они 
действовать так, чтобы хотя бы у $1000$ из них слово на бумажке 
соответствовало цвету своего колпака?
(Олимпиада 239 школы, 2023, 8--9 классы)

\end{document}




