\nopagenumbers

\input amssym.def

\input amssym.tex

\def\geq{\geqslant}

\def\leq{\leqslant}

\centerline{LIV УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КАЗАНЬ, 05--11.11.2019}

\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 06.11.2019}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ 6 КЛАССА}

\medskip

1. Ёжик и Медвежонок в 10 утра вышли из своих домов и пошли 
друг к другу в гости. По пути они встретились, но не заметили 
друг друга в тумане и пошли дальше. Спустя 6 минут после встречи 
Ёжик дошёл до дома Медвежонка, а через 18 минут после этого Медвежонок 
дошёл до домика Ёжика. Во сколько каждый из них обнаружил, что друга нет дома? 
(Скорость каждого из них постоянна, оба шли одной и той же прямой дорогой.) 
(А. Сафиуллина)

2. Произведение десяти последовательных натуральных чисел заканчивается 
четырьмя нулями. Докажите, что произведение каких-то трёх из этих чисел 
тоже заканчивается четырьмя нулями. 
(С. Берлов по мотивам: K\"ozepiskolai Matematikai Lapok, 2019\No 10, K.631)  

3. Какое наименьшее количество прямоугольников из трёх клеток 
можно вырезать из прямоугольника $10\times 9$ клеток таким образом, 
чтобы больше нельзя было вырезать ни одного квадрата $2\times 2$? 
(С. Берлов)

4. На столе лежит по 2019 монет каждого из достоинств 1, 2, 4, 8, \dots, 
$2^{100}$ тугриков. Рядом стоит касса с неограниченным числом монет 
каждого из этих достоинств. Петя и Вася играют в игру. Ходят по очереди, 
начинает Петя. За один ход можно заменить любую монету на столе набором 
более мелких монет на ту же сумму, взятых из кассы. Проигрывает тот, 
кто не может сделать ход. Кто из мальчиков выиграет при правильной игре? 
(Сербия, отбор на юниорскую Балканиаду, 2019)

5. Непустое подмножество множества всех натуральных чисел, 
не превосходящих 2019, назовем {\it хорошим}, если сумма элементов 
этого подмножества делится на их количество. Определите, четно или нечетно 
количество хороших подмножеств. 
(K\"ozepiskolai Matematikai Lapok, 2019\No 9, B.5043) 

\medskip

\centerline{LIV УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КАЗАНЬ, 05--11.11.2019}

\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 06.11.2019}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ 7 КЛАССА}

\medskip

1. Петя и Вася проводят матч, состоящий из нескольких партий. 
Победитель партии получает 4 очка, проигравший -- одно очко, 
а если партия закончилась вничью, то оба получают по 2 очка. 
По окончании матча у ребят вместе оказалось 170 очков. Мог ли 
победитель набрать 90 очков? 
(Сербия, олимпиада для основных школ, 2014/15, VIII класс, муниципальный этап) 

2. Найдите все четверки простых чисел $p$, $q$, $r$ и $s$, 
для которых $2p+3pq+4pqr+5pqrs=2019$. 
(А. Храбров, по мотивам чего-то сербского)

3. Набор состоит из двадцати гирь с весами от 11 до 30 грамм, 
по одной гире каждого веса. За одно взвешивание можно сравнить 
две гири (узнать, какая тяжелее), после чего вес каждой из них 
уменьшается на 1 грамм. Если вес гири становится равным нулю, 
то она исчезает. Можно ли организовать взвешивания так, чтобы 
в какой-то момент времени стало возможно указать гирю весом в 20 грамм? 
(Р. Ефремов)

4. Дано нечетное натуральное число $n$ и клетчатый квадрат 
со стороной $n$ клеточек. Некоторые стороны клеточек, 
составляющих квадрат, окрашены в красный цвет, причем 
каждая клеточка имеет по крайней мере две красные стороны. 
Какое наименьшее количество отрезков могло быть покрашено? 
(Сербия, муниципальный этап, 2018, II разред, категория А)

5. Докажите, что если $m$ и $n<m$ -- натуральные числа, 
то $(m, n)+(m+1, n+1)+(m+2, n+2)\leq 2m-2n+1$. (Как обычно, $(x, y)$ 
обозначает наибольший общий делитель чисел $x$ и $y$.) 
(Индия, 2019)

\medskip

\centerline{LIV УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КАЗАНЬ, 05--11.11.2019}

\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 06.11.2019}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ 8 КЛАССА}

\medskip

1. Про действительные числа $x$, $y$ и $z$ известно, что 
$2x^2+y^2+z^2=2x(y+z)$. Докажите, что тогда и $x^2+y^2+2z^2=2(x+y)z$. 
(Фольклор)

2. В квадрате $ABCD$ на стороне $CD$ выбрана точка $P$. Точка $Q$ 
на стороне $AD$ такова, что $BQ$ -- биссектриса угла $PBA$. Из точки $P$ 
опущен перпендикуляр $PH$ на прямую $BQ$. Докажите, что $BQ=2PH$. 
(Жюри по мотивам Jean Louis AYME)

3. Два банкира играют в игру. Изначально на столе лежат по одной купюре 
каждого из существующих в стране достоинств, а именно 1, 2, 5, 10, 50, 
100, 500, 1000 и 5000 тугриков. За один ход один банкир разменивает 
любую купюру на любые меньшие на ту же сумму. Кто не может сделать ход, 
проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре: тот, кто ходит первым, 
или его соперник? 
(Сербия, отбор на юниорскую Балканиаду, 2019)

4. Докажите, что если $m$ и $n<m$ -- натуральные числа, 
то $(m, n)+(m+1, n+1)+(m+2, n+2)\leq 2m-2n+1$. (Как обычно, $(x, y)$ 
обозначает наибольший общий делитель чисел $x$ и $y$.) 
(Индия, 2019)

5. В турнире принимает участие 250 команд, каждая играет с каждой 
один раз дома и один раз на выезде. Можно ли к каждому матчу приставить 
одного из 10 судей так, чтобы для каждой команды множества судей, 
которые будут судить у неё дома, и судей, которые будут судить у неё 
на выезде, не пересекались? 
(Математический турнир Гарвард-MIT, февраль 2019, модифицировано)

\end

