\nopagenumbers

\input amssym.def

\input amssym.tex

\def\geq{\geqslant}

\def\leq{\leqslant}

\centerline{LIV УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КАЗАНЬ, 05--11.11.2019}

\centerline{\bf КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 06.11.2019}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ 6 КЛАССА}

\medskip

1. Малыш, Карлсон и Фрекен Бок ели торт. Малыш ест торт вдвое медленнее 
Фрекен Бок и втрое медленнее Карлсона. Каждый из них съел ровно треть торта. 
При этом они закончили есть одновременно. Какая часть торта была съедена 
к тому моменту, когда Карлсон начал есть? 
(И. Рубанов)

2. У Феди есть 900 монеток общей ценой 1000 тугриков (каждая монета 
достоинством в натуральное число тугриков). Докажите, что Федя может 
выбрать 100 монеток общей ценой ровно 200 тугриков. 
(С. Берлов, Ф. Бахарев)

3. На острове 100 жителей, каждый из которых может быть рыцарем 
(которые всегда говорят правду), лжецом (которые всегда лгут) 
или хитрецом (которые говорят, что хотят). 50 островитян произнесли фразу: 
``На острове рыцарей больше, чем хитрецов'', а 50 остальных фразу: 
``На острове лжецов больше, чем хитрецов''. Докажите, что на острове 
не меньше 25 хитрецов. 
(С. Берлов)

4. Майкл Джордан кидает штрафные броски на деньги по следующим правилам. 
За каждое попадание он получает \$1, за каждый промах платит \$k, 
где $k$ -- фиксированное натуральное число. Сначала у него \$0, 
а по окончании игры у него оказалось \$k. Найдите $k$, если известно, 
что Джордан бросил более 2900 раз, но менее 3000 раз, и попал 
более 2000 раз, но менее 2300 раз. 
(Сербия, окружной этап, II разряд, категория A, 2017/18) 

5. В некоторых клетках доски $100\times 100$ стоят домики. 
Домик хорошо освещен, если из него видно хотя бы две из трех сторон 
доски: левой, правой и верхней (вертикальную сторону видно из домика, 
если в его строке между ним и этой стороной нет других домиков; 
аналогично определяется видимость горизонтальной стороны). 
Какое наибольшее количество хорошо освещенных домиков можно 
расставить на доске? 
(США, олимпиада для юниоров, 2019)

6. В стране 2000 городов, некоторые (не меньше одной) пары городов 
соединены беспосадочными авиарейсами. Может ли оказаться, что из любых 
двух городов, соединенных авиарейсом, в сумме выходит ровно 2019 авиарейсов 
в остальные города (не считая авиарейса между этими двумя городами)? 
(Д.Карпов по мотивам: Сербия, окружной этап, 2018, III разред, категория А)

7. На столе в ряд стоят 60 тарелок, пронумерованные слева направо 
числами от 1 до 60. В тарелках с номерами от 1 до 25 лежит по одному 
яблоку, а в тарелках с номерами от 26 до 60 -- по одному персику. 
За один ход разрешается одновременно переместить яблоко с тарелки 
номер $i$ на тарелку номер $i+$1 и персик с тарелки номер $j$ 
на тарелку номер $j-1$, если разность $i-j$ четна. Разрешается, 
чтобы при этом в каких-то тарелках оказывалось несколько фруктов. 
Можно ли за несколько таких ходов добиться того, чтобы в тарелках 
с номерами от 1 до 35 лежало по одному персику, а в тарелках с номерами 
от 36 до 60 -- по одному яблоку? 
(США, олимпиада для юниоров, 2019)

8. Найдите наименьшее натуральное $n$, обладающее следующим свойством: 
из любых $n$ последовательных чисел можно выбрать несколько 
(хотя бы одно) последовательных чисел, сумма которых делится на 101. 
(Центральноевропейская математическая олимпиада, 2019, упрощение)

\medskip

\centerline{LIV УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КАЗАНЬ, 05--11.11.2019}

\centerline{\bf КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 06.11.2019}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ 7 КЛАССА}

\medskip

1. Малыш, Карлсон и Фрёкен Бок ели торт. Карлсон ел в три раза 
быстрее Малыша, а Фрёкен Бок в два раза быстрее Малыша и ели они 
до тех пор, пока весь торт не закончился. В 17:00 к поеданию торта 
приступил Малыш, а в 18:00 -- Карлсон. Когда начала есть торт Фрёкен Бок, 
если известно, что в итоге они все съели поровну? 
(И. Рубанов)

2. На острове 100 жителей, каждый из которых может быть рыцарем 
(которые всегда говорят правду), лжецом (которые всегда лгут) 
или хитрецом (которые говорят, что хотят). 50 островитян произнесли 
фразу: ``На острове рыцарей больше, чем хитрецов'', а 50 остальных 
фразу: ``На острове лжецов больше, чем хитрецов''. Докажите, что 
на острове не меньше 25 хитрецов. 
(С. Берлов)

3. Майкл Джордан кидает штрафные броски на деньги по следующим 
правилам. За каждое попадание он получает \$1, за каждый промах 
платит \$k, где $k$ -- фиксированное натуральное число. Сначала 
у него \$0, а по окончании игры у него оказалось \$k. Найдите $k$, 
если известно, что Джордан попал более чем в 75\% всех бросков, 
но менее чем в 80\% всех бросков. 
(Сербия, окружной этап, II разряд, категория A, 2017/18) 

4. Числа $a$ и $b$ удовлетворяют соотношению $a+2b^2\leq 3$. 
Докажите, что $a+4b\leq 5$. 
(Фольклор)

5. На стороне $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ выбрана 
такая точка $D$, что $AB=BC=AD$. Докажите, что биссектриса угла $ADC$, 
серединный перпендикуляр к отрезку $CD$ и прямая $AC$ пересекаются 
в одной точке. 
(Румыния, национальный этап, 2018, 6 класс)

6. Найдите наименьшее натуральное $n$, обладающее следующим свойством: 
из любых $n$ последовательных чисел можно выбрать несколько (хотя бы 
одно) последовательных чисел, сумма которых делится на 101. 
(Центральноевропейская математическая олимпиада, 2019, упрощение)

7. В связном графе 2020 вершин. Может ли оказаться, что сумма степеней 
любых двух вершин, соединенных ребром, равна 2019? 
(Д.Карпов по мотивам: Сербия, окружной этап, 2018, III разред, категория А)

8. Все натуральные делители натурального числа $n$ разбили на пары 
и нашли сумму чисел в каждой паре. Оказалось, что все суммы -- простые числа. 
Докажите, что все они различны. 
(Сербия, окружной этап, II разряд, категория A, 2017/18) 

\medskip

\centerline{LIV УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КАЗАНЬ, 05--11.11.2019}

\centerline{\bf КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 06.11.2019}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ 8 КЛАССА}

\medskip

1. Будем называть число {\it палиндромом}, если в своей десятичной 
записи оно одинаково читается слева направо и справа налево. 
Найдите наименьшее натуральное $n$, которое нельзя представить 
в виде суммы двух палиндромов. 
(Математический турнир Гарвард-MIT, февраль 2019)

2. Пусть $x$ и $y$ -- положительные действительные числа. 
Положим $a=1+{x\over y}$, $b=1+{y\over x}$. Вычислите $a^3+b^3$, 
если известно, что $a^2+b^2=15$. 
(Математический турнир Гарвард-MIT, февраль 2019)

3. На площадке можно сыграть или в волейбол, или в футбол, 
или в баскетбол. На площадку пришли 7 команд, и каждая команда 
сыграла с каждой ровно один матч. Известно, что нет трёх команд, 
которые друг с другом играли в один и тот же вид спорта. 
Тройку команд, которые между собой сыграли во все три вида спорта, 
назовём {\it разносторонней}. Какое наибольшее количество 
разносторонних троек команд могло быть? 
(Alberta High School Mathematics Competition)

4. На основании $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ с углом 
при вершине $100^\circ$ отмечена точка $D$ такая, что $AC=DC$, 
а на боковой стороне $AB$ -- точка $F$ такая, что $DF\parallel AC$. 
Найдите величину угла $DCF$. 
(Alberta High School Mathematics Competition, 2007-2008)

5. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ отмечены 
точки $E$ и $F$ соответственно так, что $AC\parallel EF$. 
Во внешнюю сторону построены ``ушки'': правильные треугольники $BEX$ 
и $BFY$. Докажите, что треугольники $ADX$ и $CDY$ равновелики. 
(А. Кузнецов)

6. В класс с 2019 апатичными мальчиками, каждый из которых или 
играет на сотовом, или смотрит в окно, пришли 2019 девочек. 
Сначала первая приказывает одному мальчику сменить вид занятий, 
затем вторая приказывает двум мальчикам сменить вид занятий 
и так далее, наконец, 2019-ая девочка приказывает сменить 
вид занятий 2019 мальчикам. Докажите, что девочки могут действовать 
так, чтобы в конце все апатичные мальчики делали одно и то же. 
(Индия, отбор на ММО, 2019, день 2)

7. Все натуральные делители натурального числа $n$ разбили на пары 
и нашли сумму чисел в каждой паре. Оказалось, что все суммы -- простые 
числа. Докажите, что все они различны. 
(Сербия, окружной этап, II разряд, категория A, 2017/18) 

8. Резиденту нужно будет передать в Центр сообщение -- строчку 
длины 2019 из нулей и единиц. Для этого у него будет полоска 
бумаги $1\times n$, в каждую клеточку которой необходимо записать 
нуль или единицу. Резидент и Центр знают, что полоска будет бракованной: 
в каких-то пяти последовательных ее клетках заранее будут написаны нули 
и единицы. При каком наименьшем $n$ Центр и Резидент могут заранее 
договориться о способе передачи сообщения? Резидент во время записи 
сообщения видит, какие пять клеток испорчены и что в них записано. 
По полоске можно понять, где у неё начало, а где -- конец. 
(USAMTS, 4/2/28)

\end 

