\nopagenumbers

\hoffset=-1.7truecm

\hsize=19.5truecm

\voffset=-1.9truecm

\vsize=27.6truecm

\input amssym.def

\input amssym.tex

\def\geq{\geqslant}

\def\leq{\leqslant}

\centerline{LI УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 16--22.02.2018}

\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 17.02.2018}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ 6 КЛАССА}

\medskip 

1. В кошельке лежит 1000 рублей одно-, двух- и пятирублёвыми монетами. 
Известно, что общее число монет -- 300, и что монет каких-то двух достоинств 
равное количество. Найдите это количество. 
(Ярославские дистанционные игры, с небольшим изменением)

2. На плоскости дано несколько одинаковых параллельно расположенных 
квадратов, которые разбивают плоскость на несколько частей. 
Докажите, что в каждую из частей можно поставить положительное число 
таким образом, чтобы сумма чисел внутри любого квадрата была одна и та же. 
(С. Берлов, Н. Власова)

3. На столе лежит 2018 камней. Петя и Вася делают ходы по очереди, 
начинает Петя. При своем ходе игрок должен взять со стола натуральное 
количество камней, не превосходящее 100, но при этом Петя четное, 
а Вася нечетное. Проигрывает не имеющий хода. Кто выигрывает 
при правильной игре? 
(Д. Белов по мотивам молдавской олимпиады 2017 г.)

4. {\it Уголком} назовём фигуру, которая получается вырезанием 
из квадрата $n\times n$ квадрата $(n-1)\times (n-1)$ при любом 
натуральном $n$ (одна клеточка -- тоже уголок). На какое наименьшее 
количество уголков можно разрезать квадрат $100\times 100$? 
(С. Берлов)

5. Дима составил 14-значное число, в котором каждая 
из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 используется ровно дважды. 
Серёжа составил 14-значное число, в котором каждая 
из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 используется ровно дважды. 
Может ли Серёжино число делиться на Димино? 
(С. Берлов по мотивам K\"ozepiskolai Matematikai Lapok, 2017\No 9, B.4885)

\medskip 

\centerline{LI УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 16--22.02.2018}

\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 17.02.2018}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ 7 КЛАССА}

\medskip 

1. Даны три нецелых числа. Известно, что сумма любых двух из них целая. 
Может ли произведение всех трех чисел быть целым числом? 
(И. Рубанов)

2. На плоскости дано несколько одинаковых параллельно расположенных 
квадратов, которые разбивают плоскость на несколько частей. Докажите, 
что в каждую из частей можно поставить положительное число таким образом, 
чтобы сумма чисел внутри любого квадрата была одна и та же. 
(С. Берлов, Н. Власова)

3. Числа $x$, $y$ и $z$ удовлетворяют равенству 
$x+y+z={1\over x}+{1\over y}+{1\over z}=1$. Докажите, что 
одно из этих чисел равно единице. 
(Республика Сербская (Босния и Герцеговина), первый разряд, 1999, упрощение)

4. Существует ли такие натуральные числа $a_1$, $a_2$, \dots, $a_{1000000}$, 
что при любых различных $i$ и $j$, меньших 1000000, числа $a_i+j$ 
и $a_j+i$ взаимно просты? 
(Иран, 2 тур, 2017) 

5. В стране 1500 деревень, некоторые пары деревень соединены дорогами. 
Известно, что между любыми двумя деревнями существует единственный путь, 
проходящий по этим дорогам. Докажите, что 1000 деревень можно назвать 
городами так, чтобы из любого населенного пункта (как из деревни, так и из города) 
выходила хотя бы одна дорога в город. 
(Турция, отбор на ММО, 2017, только пример)

\medskip 

\centerline{LI УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 16--22.02.2018}

\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 17.02.2018}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ 8 КЛАССА}

\medskip 

1. Даны три нецелых числа. Известно, что сумма любых двух из них целая. 
Может ли произведение всех трех чисел быть целым числом? 
(И. Рубанов)

2. На столе лежит 2018 камней. Петя и Вася делают ходы по очереди, 
начинает Петя. При своем ходе игрок должен взять со стола натуральное 
количество камней, не превосходящее 100, но при этом Петя четное, 
а Вася нечетное. Проигрывает не имеющий хода. Кто выигрывает 
при правильной игре? 
(Д. Белов по мотивам молдавской олимпиады 2017 г.)

3. Существует ли такая последовательность натуральных чисел 
$a_1$, $a_2$, \dots, что при любых различных $i$ и $j$ числа $a_i+j$ 
и $a_j+i$ взаимно просты? 
(Иран, 2 тур, 2017)

4. На боковой стороне $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ 
отмечена точка $D$, а на продолжении основания $AC$ за точку $C$ -- 
точка $E$, причем $AD=DE$. Докажите, что площадь треугольника $ABD$ 
равна площади треугольника $BCE$. 
(А. Кузнецов)

5. Некоторые из 2017 городов страны соединены прямыми авиарейсами 
так, что из каждого города можно добраться до любого другого. 
Правительство хочет объявить $k$ городов стратегически значимыми 
так, чтобы из любого города (включая стратегически значимые) был 
хотя бы один рейс в стратегически значимый город. При каком наименьшем $k$ 
это наверняка можно будет сделать? 
(Турция, отбор на ММО, 2017)

\end 
