\nopagenumbers

\input amssym.def

\input amssym.tex

\def\geq{\geqslant}

\def\leq{\leqslant}

\centerline{LI УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 16--22.02.2018}

\centerline{\bf КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 17.02.2018}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ 6 КЛАССА}

\medskip

1. В школе у Васи принят этический кодекс, который предписывает всем учащимся 
иметь штаны длины не меньшей 20\% от их роста. Когда измерили длину 
Васиных штанов, то она оказалась на 20\% меньше разрешённой. Тогда Вася 
отдал штаны своему младшему брату, который на 10 см ниже. В результате 
выяснилось, что всё равно штаны короче разрешённых на 4 см. Какой рост у Васи? 
(K\"ozepiskolai Matematikai Lapok, 2018\No 1, K.571, по мотивам)

2. В 100-буквенном слове есть хотя бы 10 различных букв, причём среди 
любых 29 стоящих подряд букв встречаются хотя бы 9 различных. Докажите, 
что среди каких-то 30 стоящих подряд букв встретятся 10 различных. 
(С.Берлов)

3. Группа из пяти мальчиков и пяти девочек сдавала тест, за который 
каждому ставилась оценка от 1 до 10. У каждой девочки в этой группе 
есть хотя бы два знакомых мальчика, а у каждого мальчика -- хотя бы 
две знакомых девочки. В результате каждый из мальчиков получил оценку 
ниже, чем каждая из знакомых ему девочек. Может ли средняя оценка мальчиков 
оказаться выше, чем средняя оценка девочек? 
(С.Берлов по мотивам классики)

4. Петя сказал Васе, что задумал натуральное число, не превосходящее тройки. 
Вася хочет его угадать. Он для этого может задавать вопросы вида: 
"Верно ли, что задуманное тобой число равно $a$?", где $a$ -- натуральное 
число, не превосходящее тройки, причём каждый следующий вопрос 
задается только после ответа на предыдущий. Помогите Васе угадать 
число за 100 таких вопросов, если известно, что ровно на 60 вопросов 
Петя ответит правду, а на остальные 40 солжёт.

5. {\it Расстоянием между двумя клетками} клетчатого квадрата назовём 
наименьшее количество ходов, которое потребуется фишке, чтобы добраться 
из первой клетки во вторую, перемещаясь каждым ходом на соседнюю 
по стороне клетку. Назовем {\it равносторонним треугольником} 
набор из трех клеток, все три расстояния между которыми равны. 
Докажите, что все клетки квадрата $99\times 99$ нельзя разбить 
на равносторонние треугольники. 
(Д.Ширяев)

6. Какое наибольшее количество не делящихся на 4 натуральных чисел, 
меньших 850, можно выбрать таким образом, чтобы у любых двух выбранных 
чисел был общий делитель, больший 1? 
(С.Берлов)

7. По кругу расставлено 100 красных и 100 синих точек. Петя и Вася играют 
в игру. Ходят по очереди, начинает Петя. Каждый из игроков своим ходом 
может соединить отрезком красную точку с синей, если они ещё не соединены. 
Выигрывает тот, кто первым получит цикл длины 4. Кто из мальчиков может 
обеспечить себе победу независимо от действий соперника? 
(2017, Korean Winter Program Practice)

8. Число 124 обладает таким свойством, что как бы ни разбить его запись 
на две части, сумма двух получившихся чисел равна квадрату натурального 
числа: $12+4=42$; $1+24=52$. Существует ли 100-значное число, не содержащее 
в своей записи нулей, с таким же свойством? 
(С.Берлов)

\medskip

\centerline{LI УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 16--22.02.2018}

\centerline{\bf КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 17.02.2018}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ 7 КЛАССА}

\medskip

1. В школе у Васи принят этический кодекс, который предписывает всем учащимся 
иметь штаны длины не меньшей 20\% от их роста. Когда измерили длину 
Васиных штанов, то она оказалась на 20\% меньше разрешённой. Тогда Вася 
отдал штаны своему младшему брату, который на 10 см ниже. В результате 
выяснилось, что всё равно штаны короче разрешённых на 4 см. Какой рост у Васи? 
(K\"ozepiskolai Matematikai Lapok, 2018\No 1, K.571, по мотивам)

2. В озере рыболовецкого хозяйства живут караси, карпы и одна прожорливая щука, 
других рыб в озере нет. Сегодня средний вес карпов в 4 раза больше 
среднего веса карасей в озере, а средний вес всей рыбы в озере, 
не считая щуки, в 2 раза меньше среднего веса карпов. Каждый день 
щука съедает не меньше одной, но не больше четырёх рыб. Оказалось, 
что в какой-то из дней, вчера или сегодня, в озере оказалось ровно 2018 рыб, 
не считая щуки. Сколько рыб съела щука в ночь со вчера на сегодня? 
(Белоруссия, III этап, 8 класс, 2018)

3. Точка $M$ -- середина отрезка $AB$. По одну сторону от прямой $AB$ 
отметили такое точки $L$ и $N$, что $LM$ -- биссектриса угла $AMN$, 
а $NM$ -- биссектриса угла $BML$. Докажите, что $\angle ALB=\angle ANB$, 
если известно, что $ML=MN$. 
(Румыния, Бухарест, секторальный этап, 2016, 6 класс) 

4. {\it Расстоянием между двумя клетками} клетчатого квадрата 
назовём наименьшее количество ходов, которое потребуется фишке, 
чтобы добраться из первой клетки во вторую, перемещаясь каждым ходом 
на соседнюю по стороне клетку. Назовем {\it равносторонним треугольником} 
набор из трех клеток, все три расстояния между которыми равны. 
Докажите, что все клетки квадрата $99\times 99$ нельзя разбить 
на равносторонние треугольники. 
(Д.Ширяев)

5. Какое наибольшее количество не делящихся на 4 натуральных чисел, 
меньших 850, можно выбрать таким образом, чтобы у любых двух выбранных чисел 
был общий делитель, больший 1? 
(С.Берлов)

6. По кругу расставлено 75 положительных чисел. Для каждого числа 
из его квадрата вычли единицу, деленную на следующее за ним 
по часовой стрелке число. Все посчитанные 75 чисел оказалось одинаковыми. 
Докажите, что и все исходные числа были одинаковыми. 
(Республика Сербская (Босния и Герцеговина), первый разряд, 2002 переделано для 7-го класса, усложнение)

7. Найдите все такие натуральные числа $x$ и $y$ и простое число $p$, 
что ${1\over x}+{1\over y}-{1\over x+y}={1\over p}$. 
(Республика Сербская (Босния и Герцеговина), 2001, третий разряд)

8. Петя сказал Васе, что задумал натуральное число, не превосходящее 20. 
Вася хочет его угадать. Он для этого может задавать вопросы вида: 
"Верно ли, что задуманное тобой число равно $a$?", 
где $a$ -- натуральное число, не превосходящее 20, 
причём каждый следующий вопрос задается только после ответа на предыдущий. 
Помогите Васе угадать число за 1950 таких вопросов, если известно, 
что ровно на 1850 вопросов Петя ответит правду, а на остальные 100 соврёт. 
(Д.Карпов и А.Храбров по мотивам задачи С.Берлова) 
 
\medskip 

\centerline{LI УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 16--22.02.2018}

\centerline{\bf КОМАНДНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 17.02.2018}

\centerline{\bf ЗАДАНИЯ ДЛЯ 8 КЛАССА}

\medskip 

1. По прямому шоссе Урюпинск--Мухославск с постоянными, но различными 
скоростями двигались 10 машин с номерами от 1 до 10. Могло ли случиться 
так, что для любого порядка десяти номеров был момент, когда машины 
располагались именно в этом порядке (считая от Урюпинска к Мухославску)? 
Известно, что машины никогда не встречались одновременно по три и больше. 
(L.Lorant, K\"ozepiskolai Matematikai Lapok, 2017, No 9, K.549)

2. На продолжении стороны $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ 
за точку $C$ лежит точка $D$, а на продолжении стороны $BC$ за точку $C$ -- 
точка $E$ так, что $BD=DE$. Докажите, что $AD=CE$. 
(Румыния, конкурс "Unirea", 2015)

3. {\it Расстоянием между двумя клетками} клетчатого квадрата 
назовём наименьшее количество ходов, которое потребуется фишке, 
чтобы добраться из первой клетки во вторую, перемещаясь каждым ходом 
на соседнюю по стороне клетку. Назовем {\it равносторонним треугольником} 
набор из трех клеток, все три расстояния между которыми равны. 
Докажите, что все клетки квадрата $99\times 99$ нельзя разбить 
на равносторонние треугольники. 
(Д.Ширяев)

4. Пусть $P_n$ -- количество способов выписать в строчку несколько 
(возможно, ни одного) различных натуральных чисел, не превосходящих $n$. 
Докажите, что для любых различных натуральных $m$ и $n$ разность $P_n-P_m$ 
делится на $n-m$. 
(Канада, утешительный конкурс, 2017)

5. Петя задумал чётное натуральное число $M$ и сказал: 
"Сумма цифр числа $2M$ равняется 2018, а сумма цифр числа $M/2$ 
равняется 518". Потом подумал ещё и сказал: "А ещё в десятичной записи 
числа $M$ встречаются только цифры 0, 2, 4, 5, 7, 9". Чему может равняться 
сумма цифр числа $M$? 
(India Pale Ale Competition, 2018)

6. По клеткам таблицы $1526\times 1526$ ползает черепашка, 
которая умеет переползать из клетки в соседнюю с ней по стороне. 
Она начинает свой маршрут в угловой клетке, посещает каждую клетку 
ровно один раз и возвращается в ту же клетку, с которой начала. 
При каком наибольшем $k$ заведомо найдётся строка или столбец, 
куда черепашка заползала (из соседних рядов) не менее $k$ раз? 
(Канада, 2015)

7. Точки $D$, $E$, $F$ -- середины сторон $BC$, $AB$ и $AC$ 
треугольника $ABC$ соответственно. Биссектриса угла $ADB$ пересекает 
сторону $AB$ в точке $M$, а биссектриса угла $ADC$ пересекает сторону $AC$ 
в точке $N$. Прямые $AD$ и $MN$ пересекаются в точке $O$, прямые $AB$ и $FO$ -- 
в точке $P$, а прямые $AC$ и $EO$ -- в точке $R$. Докажите, что $PR=AD$. 
(Испания, 2017)

8. Существует ли последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, 
\dots, все члены которой различны, такая, что при каждом натуральном $k$ 
число $2^ka_1a_2\dots a_k$ делится на $a_{k+1}^k$? 
(Шортлист ELMO, 2017)

\end 
