\nopagenumbers

\input cells.sty

\input amssym.def

\input amssym.tex

\def\geq{\geqslant}

\def\leq{\leqslant}

\centerline{XXXIX УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 18-24.02.2012}

\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ \No2. 21.02.2012}

\centerline{\bf СТАРШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА} 

1. Пусть $ABCD$ -- выпуклый четырехугольник. Биссектрисы внешних углов $DAC$ 
и $DBC$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что $\angle APD=\angle BPC$ 
тогда и только тогда, когда $AD+AC=BC+BD$. 
(Италия, 2011)

2. При каком наименьшем $k$ в любой раскраске клеток таблицы $2n\times k$ 
в $n$ цветов найдутся четыре клетки одного цвета, стоящие на пересечении 
двух строк и двух столбцов? 
(Италия, 2009)

3. В мешке 100 котов -- черных, белых и серых. Количество чёрных котов 
больше, чем удвоенное количество белых; утроенное количество белых котов 
больше, чем учетверённое количество серых; утроенное количество серых котов 
больше количества чёрных. Сколько котов каждого цвета в мешке? 
(Аргентина, региональный этап, 2011)

4. Функция $f(x)$ определена при каждом натуральном $x$ условием $f(x)=y$, 
где $y!\leq x<(y+1)!$. Докажите, что $f(a^2)+f(b^2)\leq 2f(ab)+1$ 
при всех натуральных $a$ и $b$. 
(А.Голованов и К.Сухов исправили неправильную задачу И. Борсенко, Mathematical Reflections, 2009 \No 3)

5. В 8а, 8б, 8в классах по 30 учеников. Оказалось, что если взять по ученику 
из каждого класса, то среди этих трех учеников найдутся двое знакомых 
и двое незнакомых. Докажите, что найдется ученик, который знает всех 
учеников в одном из двух других классов. 
(Олимпиада "Балтийский путь", 2011)

6. Точка $X$ лежит внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$. Оказалось, 
что основания $P$, $Q$, $R$ и $S$ перпендикуляров, опущенных из $X$ 
на прямые $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно, лежат на сторонах 
четырехугольника. Докажите, что $PA\cdot AB+RC\cdot CD={1\over 2}(AD^2+BC^2)$ 
тогда и только тогда, когда $QB\cdot BC+SD\cdot DA={1\over 2}(AB^2+CD^2)$. 
(Т. Андрееску, Mathematical Reflections, 2010 \No 2)
				
7. Найдите все натуральные числа $n$, для которых произведение $(2^n+1)(3^n+2)$ 
делится на $5^n$. 
(Чехия, 2012)

8. В клетки фигуры на рисунке вписаны все натуральные числа от 1 до 16 так, 
что суммы чисел в обеих строчках и обоих столбцах одинаковы. Положения 
чисел 1, 5 и 13 показаны на рисунке. Какое число может стоять в заштрихованной 
клетке? 
(И. Борсенко, Mathematical Reflections, 2008 \No 4)

\vbox{
\cellsize=12pt
\cput(2,2){1}
\cput(2,4){5}
\cput(4,4){13}
\cput(4,2){\hbox{x}}
\cells{
   _   _
 #|_|#|_|#
|_|_|_|_|_|
 #|_|#|_|#
|_|_|_|_|_|
 #|_|#|_|#
}}

\medskip 

\centerline{XXXIX УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 18-24.02.2012}

\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ \No2. 21.02.2012}

\centerline{\bf СТАРШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА} 

\medskip 

1. Пусть $ABCD$ -- выпуклый четырехугольник. Биссектрисы внешних углов $DAC$ 
и $DBC$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что $\angle APD=\angle BPC$ 
тогда и только тогда, когда $AD+AC=BC+BD$. 
(Италия, 2011)

2. При каком наименьшем $k$ в любой раскраске клеток таблицы $10\times k$ 
в 5 цветов найдутся четыре клетки одного цвета, стоящие на пересечении двух 
строк и двух столбцов? 
(Италия, 2009, частный случай)

3. В мешке 100 котов -- черных, белых и серых. Количество чёрных котов 
больше, чем удвоенное количество белых; утроенное количество белых котов 
больше, чем учетверённое количество серых; утроенное количество серых котов 
больше количества чёрных. Сколько котов каждого цвета в мешке? 
(Аргентина, региональный этап, 2011)

4. Функция $f(x)$ определена при каждом натуральном $x$ условием $f(x)=y$, 
где $y!\leq x<(y+1)!$. Докажите, что $f(a^2)+f(b^2)\leq 2f(ab)+1$ 
при всех натуральных $a$ и $b$. 
(А.Голованов и К.Сухов исправили неправильную задачу И. Борсенко, Mathematical Reflections, 2009 \No 3)

5. В 8а, 8б, 8в классах по 30 учеников. Оказалось, что если взять по ученику 
из каждого класса, то среди этих трех учеников найдутся двое знакомых 
и двое незнакомых. Докажите, что найдется ученик, который знает всех 
учеников в одном из двух других классов. 
(Олимпиада "Балтийский путь", 2011)

6. Дан треугольник $ABC$, где $\angle BAC=60^\circ$. Точка $S$ -- середина 
биссектрисы $AD$. Известно, что $\angle SBA=30^\circ$. Найдите $DC/BS$. 
(C.Carbunaru, Gazeta Matematic\u a, 1974, \No 5, условие изменено)

7. Найдите все натуральные числа $n$, для которых произведение $(2^n+1)(3^n+2)$ 
делится на $5^n$. 
(Чехия, 2012)
				
8. В клетки фигуры на рисунке вписаны все натуральные числа от 1 до 16 
так, что суммы чисел в обеих строчках и обоих столбцах одинаковы. Положения 
чисел 1, 5 и 13 показаны на рисунке. Какое число может стоять в заштрихованной 
клетке? 
(И. Борсенко, Mathematical Reflections, 2008 \No 4)

\medskip 

\centerline{XXXIX УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 18-24.02.2012}

\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ \No2. 21.02.2012}

\centerline{\bf СТАРШАЯ ГРУППА, ВТОРАЯ ЛИГА} 

\medskip 

1. Пусть $ABCD$ -- выпуклый четырехугольник. Биссектрисы внешних углов $DAC$ 
и $DBC$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что если $AD+AC=BC+BD$, 
то $\angle APD=\angle BPC$. 
(Италия, 2011, упрощение)

2. При каком наименьшем $k$ в любой раскраске клеток таблицы $10\times k$ 
в 5 цветов найдутся четыре клетки одного цвета, стоящие на пересечении 
двух строк и двух столбцов? 
(Италия, 2009, частный случай)

3. В мешке 73 кота -- черных, белых и серых. Количество чёрных котов больше, 
чем удвоенное количество белых; утроенное количество белых котов больше, 
чем учетверённое количество серых; утроенное количество серых котов больше 
количества чёрных. Сколько котов каждого цвета в мешке? 
(Аргентина, региональный этап, 2011)

4. Докажите, что если $x=|a|+|b|+|c|$ и $y=|a-1|+|b-2|+|c-3|$, то $x+y\geq 6$. 
Здесь $a$, $b$, $c$ -- произвольные действительные числа. 
(Румыния, национальный этап, 2009, 8 класс, с изменением) 

5. В 8а, 8б, 8в классах по 20 учеников. Оказалось, что если взять 
по ученику из каждого класса, то среди этих трех учеников найдутся 
двое знакомых. Докажите, что найдется ученик, у которого в каком-то классе 
не менее 10 знакомых. 
(С. Берлов по мотивам олимпиады "Балтийский путь", 2011)

6. Дан треугольник $ABC$, где $\angle BAC=60^\circ$. Точка $S$ -- середина 
биссектрисы $AD$. Известно, что $\angle SBA=30^\circ$. Найдите $DC/BS$. 
(C.Carbunaru, Gazeta Matematic\u a, 1974, \No 5, условие изменено)

7. Найдите все натуральные числа $n$, для которых произведение $(2^n+1)(3^n+2)$ 
делится на $5^n$. 
(Чехия, 2012)

8. В клетки фигуры на рисунке вписаны все натуральные числа от 1 до 16 так, 
что суммы чисел в обеих строчках и обоих столбцах одинаковы. Положения 
чисел 1, 5 и 13 показаны на рисунке. Какое число может стоять 
в заштрихованной клетке? 
(И. Борсенко, Mathematical Reflections, 2008 \No 4)

\medskip 

\centerline{XXXIX УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 18-24.02.2012}

\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ \No2. 21.02.2012}

\centerline{\bf МЛАДШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА}

\medskip 

1. У Пети есть весы, которые при взвешивании любого предмета показывают 
вес либо на $A$ граммов, либо на $B$ граммов больше истинного. Ему известно 
об этой особенности весов, но неизвестны числа $A$ и $B$. Пете 
подарили 10 одинаковых монет. Как ему узнать, сколько весит монета? 
(И. Рубанов)

2. При каком наименьшем $k$ в любой раскраске клеток таблицы $10\times k$ 
в 5 цветов найдутся четыре клетки одного цвета, стоящие на пересечении 
двух строк и двух столбцов? 
(Италия, 2009, частный случай)

3. Для чисел $0<x<2$ и $0<y<2$ докажите неравенство ${x-y\over x+y-xy}<1$. 
(I.Atanasiu, Gazeta Matematic\u a, 1988, \No 3)

4. Клетки доски $101\times 101$ раскрашены в черный и белый цвета в шахматном 
порядке. Можно ли во всех клетках этой доски расставить единицы, двойки 
или тройки таким образом, чтобы в любой строке и любом столбце сумма чисел 
на белых клетках была равна сумме чисел на черных клетках? 
(О. Нечаева)

5. В 7а, 7б, 7в классах по 30 учеников. Оказалось, что если взять 
по ученику из каждого класса, то среди этих трех учеников найдутся 
двое знакомых и двое незнакомых. Докажите, что найдется ученик, который 
знает всех учеников в одном из двух других классов. 
(Олимпиада "Балтийский путь", 2011)

6. Найдите все натуральные $n$, для которых $\{\sqrt{n}\}=\{\sqrt{n+100}\}$. 
Здесь $\{x\}$ -- дробная часть числа $x$, то есть разность между числом $x$ 
и наибольшим не превосходящим его целым числом (например, $\{2,7\}=0,7$, 
$\{\sqrt{2}\}=\sqrt{2}-1$). 
(Фольклор)

7. Найдите все натуральные числа $n$, для которых произведение $(2^n+1)(3^n+2)$ 
делится на $5^n$. 
(Чехия, 2012)

8. Дан треугольник $ABC$, где $\angle BAC=60^\circ$. Точка $S$ -- середина 
биссектрисы $AD$. Известно, что $\angle SBA=30^\circ$. Найдите $DC/BS$. 
(C.Carbunaru, Gazeta Matematic\u a, 1974, \No 5, условие изменено)

\medskip 

\centerline{XXXIX УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 18-24.02.2012}

\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ \No2. 21.02.2012}

\centerline{\bf МЛАДШАЯ ГРУППА, ПЕРВАЯ ЛИГА}

\medskip 

1. Для любого натурального числа $n\geq 2$ обозначим через $a_n$ наибольшее 
простое число, не превосходящее $n$. Вычислите сумму
$a_2-a_3+a_4-a_5+\dots +a_{10000}$. (С. Берлов)

2. В клетки фигуры на рисунке вписаны все натуральные числа от 1 до 16 
так, что суммы чисел в обеих строчках и обеих столбцах одинаковы. Положения 
чисел 1, 5 и 13 показаны на рисунке. Какое число может стоять в заштрихованной 
клетке? 
(И. Борсенко, Mathematical Reflections, 2008 \No 4)

3. Для чисел $0<x<2$ и $0<y<2$ докажите неравенство ${x-y\over x+y-xy}<1$. 
(I.Atanasiu, Gazeta Matematic\u a, 1988, \No 3)

4. Клетки доски $101\times 101$ раскрашены в черный и белый цвета 
в шахматном порядке. Можно ли во всех клетках этой доски расставить единицы, 
двойки или тройки таким образом, чтобы в любой строке и любом столбце 
сумма чисел на белых клетках была равна сумме чисел на черных клетках? 
(О. Нечаева)

5. В 7а, 7б, 7в классах по 30 учеников. Оказалось, что если взять по ученику 
из каждого класса, то среди этих трех учеников найдутся двое знакомых 
и двое незнакомых. Докажите, что найдется ученик, который знает 
всех учеников в одном из двух других классов. 
(Олимпиада "Балтийский путь", 2011)

6. Найдите все натуральные $n$, для которых $\{\sqrt{n}\}=\{\sqrt{n+31}\}$. 
Здесь $\{x\}$ -- дробная часть числа $x$, то есть разность между числом $x$ 
и наибольшим не превосходящим его целым числом (например, $\{2,7\}=0,7$, 
$\{\sqrt2\}=\sqrt2\-1$). 
(Фольклор)

7. Найдите все натуральные числа $n$, для которых 
произведение $(2^n+1)(3^n+2)$ делится на $5^n$. 
(Чехия, 2012)

8. Дан треугольник $ABC$, где $\angle BAC=60^\circ$. Точка $S$ -- середина 
биссектрисы $AD$. Известно, что $\angle SBA=30^\circ$. Найдите $DC/BS$. 
(C.Carbunaru, Gazeta Matematic\u a, 1974, \No 5, условие изменено)

\medskip 

\centerline{XXXIX УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 18-24.02.2012}

\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ \No2. 21.02.2012}

\centerline{\bf МЛАДШАЯ ГРУППА, ВТОРАЯ ЛИГА}
				
\medskip 

1. Для любого натурального числа $n\geq 2$ обозначим через $a_n$ наибольшее 
простое число, не превосходящее $n$. Вычислите сумму
$a_2-a_3+a_4-a_5+\dots +a_{10000}$. (С. Берлов)

2. В клетки фигуры на рисунке вписаны все натуральные числа от 1 до 16 так, 
что суммы чисел в обеих строчках и обеих столбцах одинаковы. Положения 
чисел 1, 5 и 13 показаны на рисунке. Какое число может стоять 
в заштрихованной клетке? 
(И. Борсенко, Mathematical Reflections, 2008 \No 4)

3. Докажите, что если $x=|a|+|b|+|c|$ и $y=|a-1|+|b-2|+|c-3|$, то $x+y\geq 6$. 
Здесь $a$, $b$, $c$ -- произвольные действительные числа. 
(Румыния, национальный этап, 2009, 8 класс, с изменением) 

4. Клетки доски $5\times 5$ раскрашены в черный и белый цвета 
в шахматном порядке. Можно ли во всех клетках этой доски расставить единицы, 
двойки или тройки таким образом, чтобы в любой строке и любом столбце 
сумма чисел на белых клетках была равна сумме чисел на черных клетках? 
(О. Нечаева)

5. В 7а, 7б, 7в классах по 20 учеников. Оказалось, что если взять 
по ученику из каждого класса, то среди этих трех учеников найдутся 
двое знакомых. Докажите, что найдется ученик, у которого в каком-то классе 
не менее 10 знакомых. 
(С. Берлов по мотивам олимпиады "Балтийский путь", 2011) 

6. У торговца есть 2012 одинаковых персиков. Каждый весит целое число 
граммов. Покупатель знает, что весы торговца всегда показывают вес 
положенного на них груза с одним и тем же (не зависящим от веса) 
завышением не более, чем на полкило (это завышение не обязательно 
на целое число грамм). За какое наименьшее число взвешиваний покупатель 
может узнать, сколько весит один персик? 
(Л. Самойлов, А. Храбров)

7. Бизнесмен Борис Михайлович хочет купить Дворец Юных и превратить 
его в Торговый центр. Официальная цена Дворца -- 10 000 000 000 рублей. 
Но бизнесмен обнаружил, что если дать взятку в размере 1 000 000 руб, 
то цена Дворца уменьшается вдвое (например, после двух взяток цена дворца 
уменьшится в 4 раза). Какое количество взяток должен дать бизнесмен, 
чтобы купить Дворец с наименьшими затратами? 
(С. Берлов)

8. Дан треугольник $ABC$, где $\angle BAC=60^\circ$. Точка $S$ -- середина 
биссектрисы $AD$. Известно, что $\angle SBA=30^\circ$. Найдите $DC/BS$. 
(C.Carbunaru, Gazeta Matematic\u a, 1974, \No 5, условие изменено)

\medskip 

\centerline{XXXIX УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 18-24.02.2012}

\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ \No2. 21.02.2012}

\centerline{\bf ГРУППА "СТАРТ", ВЫСШАЯ ЛИГА}

\medskip 

1. Клетки доски $101\times 101$ раскрашены в черный и белый цвета в шахматном 
порядке. Можно ли во всех клетках этой доски расставить единицы, двойки 
или тройки таким образом, чтобы в любой строке и любом столбце сумма чисел 
на белых клетках была равна сумме чисел на черных клетках? 
(О. Нечаева)

2. В 7а, 7б, 7в классах по 20 учеников. Оказалось, что если взять 
по ученику из каждого класса, то среди этих трех учеников найдутся 
двое знакомых. Докажите, что найдется ученик, у которого в каком-то классе 
не менее 10 знакомых. 
(С. Берлов по мотивам олимпиады "Балтийский путь", 2011) 

3. Для любого натурального числа $n\geq 2$ обозначим через $a_n$ наибольшее 
простое число, не превосходящее $n$. Вычислите сумму
$a_2-a_3+a_4-a_5+\dots +a_{10000}$. 
(С. Берлов)

4. Найдите все натуральные числа $n$, для которых 
произведение $(2^n+1)(3^n+2)$ делится на $5^n$. 
(Чехия, 2012)

5. Дана таблица, состоящая из десяти строк и шестнадцати столбцов. 
В каждом столбце стоят 3 фишки. Докажите, что найдутся четыре фишки, 
стоящие на пересечении двух строк и двух столбцов. 
(Италия, 2009, упрощение)

6. Бизнесмен Борис Михайлович хочет купить Дворец Юных и превратить его 
в Торговый центр. Официальная цена Дворца -- 10 000 000 000 рублей. 
Но бизнесмен обнаружил, что если дать взятку в размере 1 000 000 руб, 
то цена Дворца уменьшается вдвое (например, после двух взяток цена дворца 
уменьшится в 4 раза). Какое количество взяток должен дать бизнесмен, 
чтобы купить Дворец с наименьшими затратами? 
(С. Берлов)

7. У Пети есть весы, которые при взвешивании любого предмета показывают 
вес либо на $A$ граммов, либо на $B$ граммов больше истинного. Ему известно 
об этой особенности весов, но неизвестны числа $A$ и $B$. Пете подарили 
10 одинаковых монет. Как ему узнать, сколько весит монета? 
(И. Рубанов)

8. В мешке 80 котов -- черных и белых. Учетверенное количество чёрных котов 
больше, чем упятеренное количество белых; учетверенное количество белых котов 
больше, чем утроенное количество чёрных. Сколько котов каждого цвета сидят 
в мешке? 
(Аргентина, региональный этап, 2011, упрощение)

\medskip 

\centerline{XXXIX УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 18-24.02.2012}

\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ \No2. 21.02.2012}

\centerline{\bf ГРУППА "СТАРТ", ПЕРВАЯ ЛИГА}

\medskip 

1. Клетки доски $101\times 101$ раскрашены в черный и белый цвета в шахматном 
порядке. Можно ли во всех клетках этой доски расставить единицы, двойки 
или тройки таким образом, чтобы в любой строке и любом столбце сумма чисел 
на белых клетках была равна сумме чисел на черных клетках? 
(О. Нечаева)

2. На окружности отмечено 10 красных, 10 синих и 10 зеленых точек. Некоторые 
пары точек соединены отрезками. Если выбрать 3 точки разного цвета, то среди 
них найдется точка, соединенная отрезками с двумя другими. Докажите, что 
всего проведено не менее 100 отрезков. 
(Упрощение А. Пастора задачи С. Волченкова по мотивам) 

3. Набор из нескольких простых чисел таков, что какие бы три числа из него 
ни взять, разность двух из них окажется простым числом. Какое наибольшее 
количество чисел может быть в наборе? 
(С. Волченков по фольклорным мотивам)

4. Какое наибольшее число различных шахматных фигур можно поставить 
на доску так, чтобы все били различное число других фигур? Фигурами 
являются короли, ферзи, ладьи, слоны и кони. 
(С. Волченков)

5. Вася написал в ряд числа от 3 до 2012 включительно. Петя по каждым 
из написанных Васей чисел написал самое большое простое число, 
не превосходящее этого числа, после чего Вася просуммировал Петины 
числа, написанные на четных местах, и написанные на нечетных местах. 
На сколько отличаются полученные суммы? 
(Переформулировка задачи С.Л. Берлова из высшей лиги) 

6. Бизнесмен Борис Михайлович хочет купить Дворец Юных и превратить 
его в Торговый центр. Официальная цена Дворца -- 10 000 000 000 рублей. 
Но бизнесмен обнаружил, что если дать взятку в размере 1 000 000 руб, 
то цена Дворца уменьшается вдвое (например, после двух взяток цена дворца 
уменьшится в 4 раза). Какое количество взяток должен дать бизнесмен, 
чтобы купить Дворец с наименьшими затратами? 
(С. Берлов)

7. У Пети есть весы, которые при взвешивании любого предмета показывают 
вес либо на $A$ граммов, либо на $B$ граммов больше истинного. Ему известно 
об этой особенности весов, но неизвестны числа $A$ и $B$. Пете подарили 
10 одинаковых монет. Как ему узнать, сколько весит монета? 
(И. Рубанов)

8. В мешке 80 котов -- черных и белых. Учетверенное количество чёрных котов 
больше, чем упятеренное количество белых; учетверенное количество белых котов 
больше, чем утроенное количество чёрных. Сколько котов каждого цвета сидят 
в мешке? 
(Аргентина, региональный этап, 2011, упрощение)

\medskip 

\centerline{XXXIX УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 18-24.02.2012}

\centerline{\bf МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ \No2. 21.02.2012}

\centerline{\bf ГРУППА "СТАРТ", ВТОРАЯ ЛИГА}

\medskip 

1. Клетки доски $5\times 5$ раскрашены в черный и белый цвета в шахматном 
порядке. Можно ли во всех клетках этой доски расставить единицы, двойки 
или тройки таким образом, чтобы в любой строке и любом столбце сумма чисел 
на белых клетках была равна сумме чисел на черных клетках? 
(О. Нечаева)

2. На окружности отмечено 10 красных, 10 синих и 10 зеленых точек. Некоторые 
пары точек соединены отрезками. Если выбрать 3 точки разного цвета, 
то среди них найдётся точка, соединенная отрезками с двумя другими. Докажите, 
что всего проведено не менее 100 отрезков. 
(Упрощение А. Пастора задачи С. Волченкова по мотивам)

3. Имеется набор из шести простых чисел. Докажите, что из него можно 
выбрать три числа, разность любых двух из которых окажется составным числом. 
(С. Волченков)

4. Какое наибольшее число различных шахматных фигур можно поставить 
на доску, чтобы все били различное число других фигур? Фигурами являются 
короли, ферзи, ладьи, слоны и кони. 
(С. Волченков)

5. Сколько решений имеет ребус УРАЛ$+$XXXIX$=$КИРОВ? Как всегда, одинаковыми 
буквами здесь обозначены одинаковые цифры, а разными -- разные. 
(С. Волченков)

6. Бизнесмен Борис Михайлович хочет купить Дворец Юных и превратить 
его в Торговый центр. Официальная цена Дворца -- 10 000 000 000 рублей. 
Но бизнесмен обнаружил, что если дать взятку в размере 1 000 000 руб, 
то цена Дворца уменьшается вдвое (например, после двух взяток цена 
дворца уменьшится в 4 раза). Какое количество взяток должен дать бизнесмен, 
чтобы купить Дворец с наименьшими затратами? 
(С. Берлов)

7. Известно, что продавец волейбольных мячей на каждой продаже (продаваться 
может и несколько мячей сразу) обсчитывает покупателя на одну и ту же сумму. 
Как, не зная цену мяча, за две покупки узнать эту сумму? 
(Фольклор)

8. Тридцать три кошки весят больше тридцати двух котов. Кто весит больше: 
тридцать две кошки или тридцать один кот? (Все кошки весят одинаково 
и коты -- тоже.) 
(Фольклор)

\end 
